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张量的核心特点在于，它所代表的几何对象并不依赖于坐标系的选择。坐标系改变时，张量本身并没有改变，改变的只是它在该坐标系下的分量表达。例如，同一个位移矢量可以在不同坐标系中具有不同的分量，但它表示的位移本身始终是同一个几何对象。正因为如此，张量在不同坐标系下的分量之间必须满足特定的变换规律。也就是说，张量的定义不仅在于它有多少个分量，更在于这些分量在坐标变换下如何联系起来。

如果在时空中的每一个点都指定一个张量，就得到一个张量场。研究张量场的变化，是微分几何中的基本问题之一。这一点与高等数学中研究函数的导数有相似之处，只不过对象从标量函数推广到了张量场。在普通的矢量分析中，位移对时间求导得到速度，速度对时间求导得到加速度；这些量仍然是矢量，也就是一阶张量。微分几何要处理的，正是这种“变化”的概念在一般弯曲空间或弯曲时空中的推广。

在平直空间中，我们通常可以直接比较相邻两点上的矢量，甚至可以把它们的分量相减，以此描述矢量场的变化。然而在弯曲弯曲时空中，情况要更微妙。不同点处的坐标基矢本身会随位置变化，因此两个不同点上的张量并不天然处在同一个可直接比较的空间中。若只是把它们的分量相减，所得结果一般不能直接看作一个具有良好几何意义的张量。因此，如何比较相邻两点上的张量，成为微分几何中的核心问题。传统的广义相对论教科书通常通过引入联络来解决这一问题。联络的作用可以理解为，在比较相邻点上的张量时，除了考虑分量本身的变化，还要补偿基矢随位置变化所带来的影响。这样得到的变化量才能满足坐标变换下的协变要求，并成为几何上有意义的对象。协变导数正是在这种思想下产生的。

不过，我们也可以从另一个角度来理解这个问题。与其一开始就在弯曲空间内部引入联络，不如先从一个更直观的图像出发：把弯曲空间看作嵌入在某个高维平直空间之中，然后借助高维平直空间中的矢量微积分来理解弯曲空间中的微分运算。以二维球面为例。二维球面可以嵌入三维平直空间中，而三维空间具有统一的坐标基矢。设球面上存在一个矢量场，那么球面上相邻两点各自对应一个矢量。为了比较这两个矢量，我们可以先从三维空间的角度观察它们，把其中一个矢量沿球面平移到另一个点上，并在三维空间的统一坐标基矢下展开。这样，两个矢量便可以在同一个高维平直空间中进行比较。完成这种比较之后，得到的差量仍然是三维空间中的矢量。由于我们真正关心的是球面上的几何变化，还需要把这个差量投影回球面的切空间。具体来说，可以用球面上的坐标基矢与该差量作内积，提取它在球面切方向上的分量。这样得到的，便是球面上矢量场沿球面变化的结果，也就是矢量场在球面上的微分表达。

这一过程实际上揭示了一个重要的思想，所谓的弯曲空间中的微分，可以通过“高维平直空间中的比较”加上“投影回弯曲空间”的方式来理解。先在高维平直空间中完成直观的相减，再将结果限制到弯曲空间自身的切方向上，便得到弯曲空间内部的几何变化。这个思想可以推广到一般的弯曲时空。我们可以将弯曲时空嵌入到某个维数更高的平直时空中。这个高维平直时空的维数可能远大于原来弯曲时空的维数。对于弯曲时空上的张量场，可以用该时空的坐标基矢及其张量积来展开。若要研究这个张量场的微分，可以先从高维平直时空的视角出发，把相邻点上的张量放到同一个高维背景中进行比较，计算它们的差量，然后再把结果投影回弯曲时空的切空间。

在这种图像中，张量场的微分可以理解为张量的梯度与位置矢量微元之间的作用结果。协变导数的分量，也可以看作张量梯度在弯曲时空坐标基矢方向上的分量表达。由此，协变导数不再只是一个形式上的定义，而可以被理解为一种几何操作：它描述的是张量场在弯曲时空内部沿给定方向的真实变化，同时排除了高维空间中不属于该弯曲时空切方向的部分。

因此，从高维平直时空的视角理解微分几何，可以为广义相对论中的张量微分提供一种直观图像。它把弯曲时空中的协变变化，与平直空间中的矢量微积分联系起来，使得张量、张量场、投影和协变导数之间的关系变得更加清晰。

黎曼曲率张量的来源介绍与张量的梯度

上面我们说的是时空上的两个相邻点的情况，但还存在着更复杂的情况，也就是从同一个点出发经历两条很短但路径不同。对于一个标量场，例如温度来说，从两条不同的路径到达同一个点，两个结果都是一样的。而对于一个矢量或者高阶的张量来说，沿着两条不同的路径到达同一个点，根据前面提到的梯度的计算，它们是不一样的。这种不相等的性质说明这个点附近的时空曲率非零，时空是弯曲的。描述时空曲率的是黎曼曲率张量，它是一个四阶张量。黎曼曲率张量缩并之后的里奇张量以及曲率标量是广义相对论的爱因斯坦场方程的基础，爱因斯坦场方程就是方程左边的爱因斯坦张量等于方程右边的物质的能动张量，这个方程就告诉我们物质的能动张量造成了时空的弯曲，而时空的弯曲又会影响物质的运动。只要解出这个方程，得到度规就知道了时空的几何结构。所以在数学上就要准备好时空曲率的描述，时空曲率实际上就是黎曼曲率张量。黎曼曲率张量实际上来自于一个矢量沿着两条路径走到同一点的差别。如果黎曼曲率张量为零，时空就是平直的，如果非零，时空就是弯曲的。

前面讨论的是时空中两个相邻点之间张量如何比较的问题。更进一步，还可以考虑从同一个点出发，沿着两条不同但都很短的路径移动，最后到达同一个邻近点。这个问题直接引出了曲率的概念。

对于标量场来说，情况相对简单。例如温度场在时空中每一点只有一个数值。如果从同一个起点出发，沿两条不同路径到达同一个终点，那么终点处的温度值是确定的，并不会因为路径不同而改变。换言之，标量场在同一点的取值只依赖于该点本身，而不依赖于到达该点的路径。但是，对于矢量场或更高阶的张量场，情形就不同了。一个矢量沿着不同路径被搬运到同一个终点时，最终得到的结果可能并不相同。也就是说，张量在弯曲时空中的变化不仅与起点和终点有关，还可能与中间经过的路径有关。这种路径依赖性，正是曲率的几何表现。从前面介绍的张量微分观点来看，这种差异可以理解为，沿不同方向连续比较张量时，由于时空本身具有弯曲结构，最终得到的变化量不再完全相同。若沿两条微小路径得到的结果存在差别，就说明该点附近的时空具有非零曲率。反过来说，如果无论沿怎样的微小闭合路径搬运矢量，最后都没有产生差异，那么这个区域就具有平直时空的性质。

描述这种路径差异的数学对象，就是黎曼曲率张量。黎曼曲率张量刻画了矢量或张量在时空中沿不同路径平行移动后产生的差别，因此它是描述时空曲率的核心对象。在四维时空中，黎曼曲率张量具有四个指标，因此可以看作一个四阶张量。黎曼曲率张量包含了时空弯曲的完整信息。通过对它进行缩并，可以得到里奇张量；进一步缩并，则得到曲率标量。里奇张量和曲率标量共同构成了广义相对论中爱因斯坦张量的主要成分，而爱因斯坦张量正是爱因斯坦场方程左边的几何量。爱因斯坦场方程可以概括地写成，左边是描述时空几何的爱因斯坦张量，右边是描述物质和能量分布的能动张量。这个方程表达了广义相对论的核心思想：物质和能量决定时空如何弯曲，而弯曲的时空又决定物质如何运动。因此，要理解广义相对论的数学结构，就必须先理解时空曲率的描述方式。只要解出爱因斯坦场方程，得到时空的度规，就可以进一步确定该时空的几何结构。而曲率的根源，正可以追溯到一个矢量沿不同路径移动到同一点后所产生的差别。黎曼曲率张量为零时，时空具有平直的几何性质；黎曼曲率张量不为零时，时空便表现出弯曲的几何性质。

在坐标基矢下，一阶张量可以展开为

类似地，二阶张量和三阶张量可以分别写成

接下来考虑矢量场的微分。对于一个矢量场，它在相邻点之间的变化量可以写成坐标微元与矢量场梯度的点乘：

其中，坐标微元为

这说明矢量场的变化可以由两个部分共同决定，一是沿哪个方向移动，即坐标微元；二是矢量场在各个方向上如何变化，即梯度。

矢量场的梯度可以用协变导数展开为

这形式也说明是一个二阶张量，即一阶张量的梯度是一个二阶张量。更具体地说，上式给出了一个 型分量的表示形式。我们也可以用两个指标的分量表示

这里的协变导数可用普通导数加上克氏符表示出来

其中，第一项描述矢量分量本身沿方向的变化，第二项 则补偿坐标基矢随位置变化所带来的影响。因此，协变导数不是简单地对分量求导，而是同时考虑了分量变化和基矢变化之后得到的几何变化量。

（张朝阳介绍张量及其微分）

在高维平直时空的视角下，克氏符可以理解为坐标基矢变化在弯曲时空切空间中的投影。具体地，可以写成

同时这表达式也要求了克氏符对下指标具有对称性

从这里我们看到了协变导数就是张量梯度的分量，而张量的微分就是位移微元矢量与张量梯度的内积。

二阶张量的梯度是一个三阶张量。若记二阶张量为，则可以定义

因此，二阶张量在相邻两点之间的微分，或者说变化量，可以写成坐标微元与其梯度的点乘

这与一阶张量的情形完全类似。对于一阶张量，其梯度是二阶张量；对于二阶张量，其梯度则是三阶张量。一般地，每求一次梯度，张量的阶数就增加一阶。

封闭四边形与四阶的黎曼曲率张量

下面进一步讨论一个更重要的几何问题：在弯曲时空中，矢量沿不同路径移动后是否会得到相同的结果。这个问题将自然引出黎曼曲率张量。

如下图所示，在时空中选取一点。从出发，沿位移微元 平移，可以到达点；沿另一个位移微元平移，则可以到达点；另一方面，从点 再沿位移微元平移，可以到达点；从点再沿位移微元平移，可以到达点 。这里的和分别是沿着从点平移到点得到，沿着从点平移到点得到。这两个、与点和点上的位移微元和不相等（此时的和由红色虚线标出，表示平直时空视角下的平行四边形），存在一个差值（由图中绿色的线标出）。因此，按照这种平移方式构造出来的图形一般并不自动封闭。这一点与平直时空中的平行四边形不同。在平直时空中，两条边分别平移后总能自然构成一个封闭的平行四边形；而在弯曲时空中，这个性质需要额外条件才能成立。

则沿路径 1，即从到的变化量为

沿着路径2，即从到的变化量为

最后一项为高阶项可忽略。若定义

并且后续所有量都在点处计算，则可以简写为

类似地，沿路径 3，即从到的变化量为

沿路径 4，即从到的变化量为

也即有

于是，矢量经过路径1和2得到的矢量与经过路径3和4得到的矢量之差为

这里最后一项具有明确的几何意义。看上面的图，表示位移微元沿方向平移时产生的增量；，则表示位移微元沿着方向平移时产生的增量。这两个矢量正好对应于图中的两条绿线，正对应于图中表示四边形不闭合的两个矢量。如果这两个差矢量相等，即

则最后一项为零。这时四条边构成一个封闭的微小四边形，上式简化为

更加细致的证明可发现，这要求和是某一个坐标系下的坐标基矢。在坐标基矢的条件下就有

也就是克氏符关于下指标是对称的，表示时空无挠，相应的无挠条件保证了微小四边形的封闭性。在封闭四边形的条件下，矢量沿这个微小四边形绕行一周后回到出发点，其总变化量可以记为

将其在坐标基矢下展开，有

将第一项的哑指标指标和调换后，我们得到

最后，如果用度规把和的指标交换，也可以写成

（张朝阳介绍矢量沿着闭合路径平移后之差）

需要注意的是，这里的和只有一个坐标基矢的分量，且为常数，而非任意矢量的分量。前面的结果表明，矢量沿封闭微小四边形绕行一周后产生的差异，来源于协变导数一般不满足交换律。也就是说，两个协变导数的作用次序不同，可能会导致不同的结果。由于协变导数是线性运算，且其作用会提高张量的阶数，因此自然推测上述绕行一周后的矢量差，应当可以等效地写成某个高阶张量与 、 和 依次缩并的结果。这个高阶张量的分量需要同时容纳两个微小位移方向、原矢量的指标以及最终变化量的指标，因此它应当是一个四阶张量。这一四阶张量正是黎曼曲率张量，记为。于是，矢量绕封闭微小四边形一周后的变化量可以写成

这里的点乘所采用的就是就近缩并原则的惯例，所以等于

另一方面，前面已经从协变导数对易子的角度得到，比较这两个表达式，可得

这说明，黎曼曲率张量正是协变导数不满足交换律的度量。若两个协变导数可以交换，则矢量绕封闭微小回路一周不会产生额外变化；若不能交换，则这种非交换性正由黎曼曲率张量描述。下面将右边的协变导数对易子用克氏符展开。对于协变分量，有

所以黎曼曲率张量的型分量用克氏符表达为

（张朝阳计算黎曼曲率张量的分量与克氏符之间的关系）

这个公式表明，黎曼曲率张量由两部分构成：一部分来自克氏符的空间变化，另一部分来自克氏符之间的乘积。前者描述克氏符本身随位置的变化，后者描述不同方向上的克氏符连续作用后产生的差异。两者合在一起，刻画了矢量沿封闭微小回路平移一周后所产生的净变化，也就是时空曲率的局部表现。

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